Enigme
Par souci d’économie, un industriel se demande comment choisir les dimensions d’une boîte de conserve cylindrique de manière à utiliser le moins de métal possible, pour un volume donné ?
Question subsidiaire : comment découper les plaques pour diminuer les chutes pour une surface donnée ?
Méthodes de résolution
Quantité de métal (Q) pour un volume donné V (Rayon R et hauteur h)
V=πR²h => h=V/πR² et V=2πR3
Q =2πR² (les 2 disques)+2πRh (le cylindre) => 2πR²+2πR(V/πR²) => 2πR(πR+ V/πR²) que l’on dérive.
Q’=2π(2R-V/πR²)=0 si 2R-V/πR²=0 => 2R-h=0 =>H=2R
Pour la question subsidiaire, on découpe dans une plaque, il y a donc des chutes !
Pour un carré de côté 2R, on utilise une surface de plaque de 4R² pour une surface de disque de πR² ce qui correspond à un taux utile π/4=78.5%.
Une structure hexagonale en quinconce
Pour la surface πR2, on utilise que la surface de l’hexagone 2R²√3 soit un taux de π/2√3=90.6%.
Le volume n’a pas changé mais la surface métallique a changé et vaut 2πRh (surface latérale) + 2 hexagone 2*2R²√3.
On utilise une surface utile S de 2R(2R√3 +πh)= 2R(2R√3 +π(V/πR²) = 2R(2R√3 +πV/πR²)
=> S=2R(2R√3 +V/R²)
S’ = 8R√3-2V/R² = 0 => V=4 R3√3 => h=4 R3√3/π => H=2.205 R