Enigme
Jeu à deux joueurs.
On prend tous les nombres de 1 à 10 et on les range dans un ordre aléatoire. Chacun son tour les joueurs choisissent un nombre à l’extrémité de la liste (donc deux choix possibles à chaque fois) jusqu’à ce que celle-ci soit totalement consommée. A la fin chaque joueur a récupéré 5 nombres et celui qui a la plus grande somme gagne.
Existe-t-il une stratégie pour que l’un des deux joueurs gagne plus souvent que l’autre ?
Méthode de résolution, proposée par Issam
Réponse courte
Oui, Il existe une stratégie pour que la personne qui commence la première gagne toujours.
Observation
Tout d’abord, la somme totale des nombres de 1 à 10 est égale à 55, nombre impair, donc non divisible par 2. De ce fait, un nul n’est pas réalisable. Dans une partie, l’un des deux joueurs gagne et l’autre perd.
Stratégie
Une stratégie gagnante, pour le joueur qui commence, consiste dans un premier temps à considérer deux groupes complémentaires formant une partition de la liste : le groupe des emplacements pairs (cases se trouvant aux positions 2, 4, 6, 8, 10) et le groupe des emplacements impairs (positions 1, 3, 5, 7, 9). Le joueur calcule la somme des nombres dans chacun de ces deux groupes. L’un des deux groupes possède nécessairement une somme supérieure à celle de l’autre. Désignons le par groupe gagnant.
Le joueur 1, qui entame la partie, peut s’assurer de gagner s’il s’arrange pour ne sélectionner que des cases du groupe gagnant, tout en ne laissant au joueur 2 d’autre choix que de sélectionner les cases de l’autre groupe.
Explication
Attention, dans ce qui suit, case/extrémité N ne désigne pas la cellule de la liste contenant la valeur N mais celle se situant à la position N.
De même, la parité fait référence à la position de la case, non pas à la valeur qui y est contenue.
Au début de la partie, le joueur 1 doit choisir entre les extrémités 1 et 10, appartenant respectivement aux groupes impair et pair. Il choisira la case appartenant au groupe gagnant. La position adjacente à cette dernière lui est forcément de parité opposée, et de même parité que l’extrémité non sélectionnée.
Le joueur 2 aura donc le choix entre deux extrémités de même parité (1 et 9 ou 2 et 10), et toutes deux appartenant au groupe perdant.
Quel que soit le choix du joueur 2, le joueur 1 se retrouvera dans la configuration initiale, où il aura le choix entre un emplacement pair et un autre impair. Il choisira de nouveau celui des deux appartenant au groupe gagnant.
Et ainsi de suite.
A la fin de la partie, le joueur 1 aura récupéré les 5 cases du groupe gagnant, et le joueur 2 aura été forcé de se retrouver avec les 5 cases du groupe perdant.