Enigme
Un zoo accueille 15 lions. Un visiteur mal intentionné décide de jeter un steak empoisonné dans leur cage : si un lion le mange alors il s’endort pendant quelques heures et devient lui-même une proie pour les autres lions. Mais si un autre lion dévore un de ses camarades endormi par le poison, alors il se contamine à son tour et s’endort lui aussi…
Les lions ont très faim, mais ils sont également très intelligents. Ils savent que le steak est contaminé. Un lion ne mangera donc le steak que si et seulement si il est certain de ne pas se faire manger à son tour. Le steak ne peut pas être partagé entre plusieurs lions.
Question : Que se passe-t-il une fois le steak jeté dans la cage ?
Solution
Il existe une solution mathématique à ce problème :
Supposons chaque lion ait une totale confiance en la rationalité de ses compères.
Soit P(k) la proposition où au moins un lion mange ce qu’il y a à manger (lion endormi ou steak), s’il y a exactement k lions éveillés. On supposera que le choix du lion qui mange n’est pas un problème.
P(1) est vraie (s’il n’y a qu’un lion, il aurait tort de se priver)
P(2) est faux (s’il y a deux lions, celui qui s’endort est sûr de se faire manger, donc aucun lion ne mange)
P(3) est vraie (le lion le plus rapide mange, les 2 autres vont se regarder en chien de faïence car qu’ils ne voudront pas se faire manger).
De fait, la proposition « les lions mangent si et seulement si ils sont sûrs de ne pas se faire manger », se traduit par :
P(k) <=> non P(k-1) (le fait de manger réduisant le nombre de lions éveillés de 1)
On démontre donc par récurrence que P(k) est vraie si k est impair, fausse si k est pair.
Par conséquent, P(15) est vraie : une fois le steak jeté dans la cage, un lion mange le steak mais ne se fait pas manger par ses congénères qui le regardent s’endormir rassasié !