Définition d'un problème multicritère

Un problème d'optimisation multicritère se pose sous la forme suivante :



où x est une solution (un vecteur de nombres réels ou entiers dans le cadre de la programmation mathématique) et X est l'ensemble des solutions réalisables.

A priori, un tel problème est mal défini puisque, sauf cas très particulier, on ne peut pas simultanément optimiser tous les critères fi à la fois. Par essence même, une optimisation multicritère n'a pas de sens mathématique et l'expression traduit plutôt des outils et méthodes permettant de trouver une ou plusieurs solutions de compromis. Pour ce faire, les notions de dominance et d'efficacité sont fondamentales.

Dominance, efficacité et front de Pareto
La dominance est une relation binaire permettant une comparaison indiscutable entre des solutions.
Une solution x domine une solution x' (on note x >= x') si x est meilleure que ou égale à x' sur tous les critères. Mathématiquement :



Une solution efficace ou Pareto-optimale est une solution non dominée par aucune autre solution. L'ensemble des solutions non-dominées est appelé ensemble efficace ou front de Pareto.

Lorsque le problème consiste à ne sélectionner qu'une seule solution, cette notion est utile et fondamentale car à priori seule une solution efficace ou Pareto optimale est intéressante à considérer. En revanche en absence d'information sur les préférences du décideur, toute solution efficace ou Pareto-optimales peut être intéressante à considérer. Le front de Pareto est l'ensemble des meilleurs compromis entre les différents critères de l'optimisation : il n'existe pas de solution qui soit meilleure sur tous les critères à la fois.

Exemple de front de Pareto pour l'allégement d'une caisse automobile
Dans le domaine de l'automobile, la masse devient une contrainte majeure avec la volonté de réduire les émissions de CO2. Mais le gain de masse ne peut se faire au détriment des prestations demandées par le client (sécurité, acoustique, endurance…). L'optimisation est un moyen de dimensionnement au plus juste des innovations technologiques envisagées sur le véhicule, sur la caisse et ses accessoires.

Le problème d'optimisation peut se résumer de la façon suivante : donner des valeurs à un
nombre défini de paramètres de conception (périmètre de l'étude) pour atteindre un objectif de masse sous des contraintes de prestations crash, vibratoire, endurance, acoustique …

Le choix des valeurs des paramètres de conception se fait en analysant les fronts de Pareto entre les contraintes et la masse. Ci-dessous un exemple de Front de Pareto entre un critère à minimiser et la masse du véhicule.